Fórmulas de Geometria Espacial ~ Apostilas para Concursos

Ensino médio, matéria de apoio rápido. Resolvam exercícios. Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Postulados

São afirmações aceitas sem demonstração. Relacionam as noções primitivas de ponto, reta e plano.

Postulado de Existência
Numa reta e num plano existem infinitos pontos (dentro e fora dele).

Postulados de Determinação
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles;
Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

Postulado da Inclusão
Se uma reta tem 2 pontos distintos num plano, então ela está contida no plano.

Postulado das Paralelas
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.

Este último é conhecido como postulado de Euclides (300 a.C.). É a propriedade que caracteriza a Geometria Euclidiana.

Determinação de Planos
Um plano pode ser determinado de quatro modos:

- por 3 pontos não colineares;
- por uma reta e um ponto fora dela;
- por 2 retas concorrentes;
- por 2 retas paralelas distintas.

Posições relativas entre retas
Podem ser concorrentes, paralelas ou reversas.

a) Concorrentes: duas retas distintas são concorrentes se, e somente se, tiver um único ponto comum.

b) Paralelas: duas retas distintas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não tiverem ponto comum.

c) Reversas: duas retas distintas são reversas se, e somente se não existe plano que as contenha.

Posições relativas entre reta e plano
Pode a reta estar contida, ser secante ou ser paralela com o plano.

a) Contida: Se, e somente se garantirmos que pelo menos dois pontos da reta estejam no plano.

b) Concorrentes ou secantes: Se, e somente se, têm um único ponto comum.

c) Paralelas: Se, e somente se, não tiverem ponto comum.

Posições relativas entre planos
Podem ser paralelos ou secantes entre si.

a) Paralelos: Se, e somente se, não tem ponto comum.

b) Secantes: Se, e somente se, se interceptarem, sendo essa interseção uma reta.

(UNIFESP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Neste caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é:

a) 6
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Solução: Ao tomarmos as arestas de base (BC, CD e BD), vemos que as retas AD, AB e AC são suas respectivas retas reversas, e com isso temos ao todo TRÊS pares de retas reversas.

Letra b)

(UNIFESP) Considere o sólido geométrico exibido na figura, constituído de um paralelepípedo encimado por uma pirâmide.
Seja r a reta suporte de uma das arestas do sólido, conforme mostrado.

Quantos pares de retas reversas é possível formar com as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das arestas do par?

a) 12
b) 10
c) 8
d) 7
e) 6

Solução:

Teremos QUATRO arestas da pirâmide de vértice do topo em comum, mais QUATRO assinaladas de faces do paralelepípedo não adjacentes, num total de OITO arestas.

Letra c)

Fórmulas de Geometria Espacial